相似矩阵

编辑:模具网互动百科 时间:2020-04-02 17:43:08
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设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得
P^(-1)*A*P=B,
则称矩阵A与B相似,记为A~B.
("P^(-1)"表示P的-1次幂,也就是P的逆矩阵, "*" 表示乘号, "~" 读 作"相似于".)
中文名
相似矩阵
外文名
similar matrix
定    义
若P可逆,P^(-1)*A*P=B即A~B
性    质
矩阵

相似矩阵矩阵性质

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ABC是任意同阶方阵,则有:
(1) A~ A
(2) 若A~ B,则 B~ A
(3) 若A~ BB~ C,则A~ C
(4) 若A~ B,则r(A)=r(B),|A|=|B|
(5) 若A~ B,且A可逆,则B也可逆,且B~ A
(6) 若A~ B,则AB有相同的特征方程,有相同的特征值
A对角矩阵相似,则称A可对角化矩阵,若n阶方阵An线性
无关的特征向量,则称A单纯矩阵

相似矩阵内容分布

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★ 相似矩阵与相似变换的概念
★ 相似矩阵的性质
★ 矩阵与对角矩阵相似的条件
★ 矩阵对角化的步骤
★ 矩阵可对角化的条件
★ 矩阵对角化的应用
约当阵的概念

相似矩阵内容要点

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一、相似矩阵的概念
定义1设A,B都是n阶矩阵, 若存在可逆矩阵P,使
P^(-1)AP=B,
则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似.记为A~B.
对进行运算称为对进行相似变换, 称可逆矩阵为相似变换矩阵.
矩阵的相似关系是一种等价关系,满足:
(1) 反身性: 对任意阶矩阵,有相似;
(2) 对称性: 若相似, 则与相似;
(3) 传递性: 若与相似, 则与相似.
二、相似矩阵的性质
定理1n阶矩阵AB相似,则AB特征多项式相同,从而AB的特征值亦相同.
相似矩阵的其它性质:
(1) 相似矩阵的秩相等;
(2) 相似矩阵的行列式相等;
(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.
三、矩阵与对角矩阵相似的条件
定理2n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵An线性无关特征向量.
: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.
推论1n阶矩阵An个相异的特征值,则A对角矩阵相似.
对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P, 使为对角阵, 则称方阵A可对角化.
定理3n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值线性无关特征向量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设是矩阵A的重特征值.
四、矩阵对角化的步骤
若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:
(1) 求出的全部特征值;
(2) 对每一个特征值,设其重数为,则对应齐次方程组基础解系由个向量构成, 即为对应的线性无关的特征向量;
(3) 上面求出的特征向量恰好为矩阵的个线性无关的特征向量;
五、矩阵对角化的应用
1.利用矩阵对角化计算矩阵多项式
定理4 设是矩阵A的特征多项式,则.
2.利用矩阵对角化求解线性微分方程
3.利用矩阵对角化求解线性方程组
六、约当阵的概念
定义2n阶矩阵A中, 形如的矩阵称为约当块.
若一个分块矩阵的所有子块都是约当块, 即
中都是约当块,则称J为约当形矩阵,或约当标准形.
: 对角矩阵可视为每个约当块都为一阶的约当形矩阵.
定理5对任意一个n阶矩阵A,都存在n可逆矩阵T使得
即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似.
词条标签:
自然学科 理学